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Condiciones iniciales en EDOs y recurrencias: de la familia general a la solución única

2026-06-29

La solución general de una ecuación diferencial lineal de orden $n$ es una familia con $n$ constantes libres. Las condiciones iniciales —tantas como el orden— seleccionan una única solución de esa familia: $y'' + y = 0$ tiene por solución general $C_1\cos x + C_2\sin x$, pero con $y(0)=1$, $y'(0)=0$ queda exactamente $y=\cos x$. En las recurrencias ocurre lo mismo con los valores iniciales: $a(n+2)=a(n+1)+a(n)$ con $a(0)=0$, $a(1)=1$ determina la sucesión de Fibonacci y su fórmula de Binet.

Imponer las condiciones es, en sí mismo, un problema clásico: sustituirlas en la solución general produce un sistema de ecuaciones lineales en las constantes, que se resuelve con los métodos habituales (eliminación de Gauss, regla de Cramer, matriz inversa).

Junto al método directo existen las vías por transformada, que convierten la ecuación en un polinomio. En las EDOs lineales, la transformada de Fourier usa $\mathcal{F}\{f'\} = 2\pi i\omega\,\mathcal{F}\{f\}$: cada derivada pasa a un factor $(2\pi i\omega)^k$, la ecuación se vuelve algebraica y se antitransforma por residuos. En las recurrencias, el papel análogo lo juega la función generatriz $A(z)=\sum_{n\ge0} a_n z^n$: cada desplazamiento $a_{n+j}$ se convierte en un factor en $z$ y $A(z)$ resulta racional — la de Fibonacci es $A(z)=\tfrac{z}{1-z-z^2}$, cuyos coeficientes $0,1,1,2,3,5,\dots$ son la propia sucesión.

En las calculadoras de ecuaciones diferenciales y de recurrencias de MathOperator, las condiciones se escriben tras la ecuación separadas por comas —y'' + y = 0, y(0)=1, y'(0)=0 o a(n+2)=a(n+1)+a(n), a(0)=0, a(1)=1— y el despeje de las constantes se muestra como el sistema lineal que es, resuelto por sus tres métodos.