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Convolución de funciones: definición, cálculo paso a paso y ejemplos

2026-07-13

La convolución de dos funciones se define como $$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.$$ Pese a su aspecto, la definición esconde una idea muy visual. El factor $g(t-\tau)$, como función de $\tau$, es $g$ reflejada (por el signo menos) y desplazada una cantidad $t$. Para cada valor de $t$ se multiplican ambas curvas y se integra: el área del solape es el valor de la convolución en ese punto. Deslizar, solapar y sumar.

La operación es central en la teoría de sistemas lineales: la salida de un sistema invariante en el tiempo es la convolución de la entrada con su respuesta al impulso. Filtros de audio e imagen, ecos, desenfoques y las capas de una red neuronal convolucional responden todos a esta misma integral. En probabilidad, la densidad de la suma de dos variables independientes es la convolución de sus densidades.

La dificultad práctica está en los límites de integración. La integral se extiende de $-\infty$ a $\infty$, pero solo contribuye la región donde ambas funciones son no nulas. Si las dos señales son causales (valen $0$ para $t<0$, es decir, llevan el escalón $u(t)$), entonces $f(\tau)=0$ para $\tau<0$ y $g(t-\tau)=0$ para $\tau>t$: el solape vive únicamente en $0 \le \tau \le t$ y la integral impropia se convierte en la definida $\int_0^t$, que ya se resuelve con los métodos habituales (por partes, sustitución, regla de Barrow). Deducir el solape es lo que permite obtener un resultado cerrado donde el cálculo directo se queda sin evaluar.

Ejemplos representativos: la convolución de una exponencial causal con un escalón, exp(-t)*u(t) ; u(t), da $1-e^{-t}$ (la respuesta de un circuito RC al escalón); dos escalones, u(t) ; u(t), dan la rampa $t$ (convolucionar contra un escalón equivale a integrar); y dos pulsos rectangulares dan un triángulo. La calculadora de convolución de MathOperator deduce los límites del solape, desarrolla la integral paso a paso y acompaña el resultado con una gráfica interactiva en la que puede deslizarse la función reflejada y observar el área del solape.