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Convolución discreta: cálculo por deslizamiento y por polinomios

2026-07-13

La convolución discreta traslada a secuencias la misma idea que la continua: $$(f * g)[n] = \sum_{k} f[k]\, g[n-k].$$ El término $g[n-k]$ es la secuencia $g$ reflejada y desplazada $n$ posiciones; para cada $n$ se multiplican los términos que se solapan y se suman. Es exactamente la operación que realiza un filtro FIR sobre una señal digital.

Existe una segunda forma de calcularla, algebraica. Si a cada secuencia se le asocia su polinomio generador —$F(x) = \sum_i f[i]\,x^i$ y $G(x) = \sum_j g[j]\,x^j$—, el coeficiente de $x^n$ en el producto $F(x)\,G(x)$ recoge todos los productos $f[i]\,g[j]$ con $i+j=n$: precisamente la suma de la convolución. Es decir, $$F(x)\,G(x) = \sum_n (f*g)[n]\,x^n:$$ convolucionar coeficientes equivale a multiplicar polinomios. Con $[1,2,3] * [1,1] = [1,3,5,3]$ puede comprobarse: $(3x^2+2x+1)(x+1) = 3x^3+5x^2+3x+1$.

Esta identidad explica por qué multiplicar dos números grandes es una convolución de sus dígitos (con acarreo) y por qué la FFT acelera esa multiplicación. También fundamenta la probabilidad discreta: la distribución de la suma de dos dados es la convolución de sus distribuciones, y su función generadora, el producto de las dos.

El método se extiende a secuencias causales simbólicas: la convolución 2^(-n)*u(n) ; u(n) resuelve el sumatorio del solape $\sum_{k=0}^{n}$ y da $(n+1)\,2^{-n}$. La calculadora de convolución discreta de MathOperator muestra las dos vías en paralelo —el deslizamiento con su gráfica de tallos y la multiplicación de los polinomios generadores— con el desarrollo completo.