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Ecuación de Riccati: resolución con una solución particular

2026-07-09

La ecuación de Riccati, $y' = q_0(x) + q_1(x)\,y + q_2(x)\,y^{2}$, es la ecuación diferencial cuadrática de primer orden. A diferencia de la lineal, no admite una fórmula general, salvo que se conozca una solución particular $y_1$. Esa solución suele encontrarse por tanteo con candidatos sencillos —una constante, $ax+b$, $a/x$—, y comprobarla en la ecuación es inmediato.

Conocida $y_1$, el cambio de variable $y = y_1 + \dfrac{1}{z}$ transforma la ecuación: al sustituir, la parte cuadrática se cancela con la que aporta $y_1$ (que ya satisface la ecuación) y queda una ecuación lineal en $z$: $$z' + \bigl(q_1 + 2q_2 y_1\bigr)z = -q_2,$$ que se resuelve con un factor integrante. Deshaciendo el cambio, $y = y_1 + 1/z$.

Este método resulta más robusto que un solver genérico precisamente porque se apoya en la solución particular. Por ejemplo, $y' = y^2 - x^2 + 1$ admite la particular $y_1 = x$ (sustituyendo: $1 = x^2 - x^2 + 1$), y de ahí se llega a $$y = x + \frac{e^{x^2}}{C_1 - \tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erfi}(x)},$$ donde $\operatorname{erfi}$ es la función error imaginaria: la primitiva (no elemental) de $e^{t^2}$, que aparece porque el factor integrante de la lineal es $e^{x^2}$.

La calculadora de ecuaciones diferenciales de MathOperator aplica este método paso a paso —búsqueda de la particular, cambio de variable, lineal resultante y comprobación final— con ejemplos como y' = y^2 - x^2 + 1 o la racional y' = y^2 - 2/x^2.