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Ecuaciones de Cauchy-Euler: la ecuación indicial y sus tres casos

2026-07-07

Las ecuaciones de Cauchy-Euler (o equidimensionales) son una familia de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables que se resuelve con la misma comodidad que las de coeficientes constantes. Su forma es $$a_n\,x^n y^{(n)} + \dots + a_1\,x\,y' + a_0\,y = g(x),$$ y su rasgo distintivo salta a la vista: el orden de cada derivada coincide con la potencia de $x$ que la multiplica.

Ese equilibrio hace que el ansatz $y = x^{m}$ funcione: cada término cumple $x^{k}\,\tfrac{d^{k}}{dx^{k}}x^{m} = m(m-1)\cdots(m-k+1)\,x^{m}$, de modo que todos vuelven a salir con $x^{m}$ de factor común. Queda una ecuación algebraica en $m$: la ecuación indicial. Por ejemplo, $$x^2 y'' + x y' - y = 0 \;\Longrightarrow\; m(m-1)+m-1 = m^2-1 = 0 \;\Longrightarrow\; m=\pm 1,$$ con solución $y = C_1\,x + C_2\,x^{-1}$.

Según las raíces de la indicial hay tres casos, paralelos a los de la ecuación característica. Raíces reales distintas: $y = C_1 x^{m_1} + C_2 x^{m_2}$. Raíz doble: la segunda solución incorpora un logaritmo, $y = (C_1 + C_2\ln x)\,x^{m}$ —así, $x^2 y'' - 3x y' + 4y = 0$ da $y = x^2(C_1 + C_2\ln x)$—. Raíces complejas $m = \alpha\pm\beta i$: oscilaciones en escala logarítmica, $y = x^{\alpha}\bigl(C_1\cos(\beta\ln x) + C_2\sin(\beta\ln x)\bigr)$.

La justificación profunda del ansatz es el cambio de variable $x = e^{t}$: convierte cualquier Cauchy-Euler en una ecuación de coeficientes constantes en $t$ (se cumple $x\,\tfrac{d}{dx} = \tfrac{d}{dt}$), cuyas soluciones $e^{mt}$ son exactamente $x^{m}$. De ahí provienen el $\ln x$ de las raíces dobles (el clásico $t\,e^{mt}$) y los senos y cosenos de $\ln x$ de las complejas. Las no homogéneas se completan con una solución particular: $x^2y'' + xy' - y = x^3$ tiene $y = C_1 x + C_2 x^{-1} + \tfrac{x^3}{8}$.

La calculadora de ecuaciones diferenciales de MathOperator reconoce las Cauchy-Euler y muestra la deducción completa, término a término. Pueden probarse x^2*y'' + x*y' - y = 0, x^2*y'' - 3*x*y' + 4*y = 0 o x^2*y'' + x*y' + y = 0.