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Métodos para resolver ecuaciones diferenciales: característica, separación y reducción

2026-06-26

Tres métodos cubren buena parte de las ecuaciones diferenciales que aparecen en la práctica. El primero es la ecuación característica, para lineales de coeficientes constantes de cualquier orden: sustituyendo $y = e^{rx}$, cada raíz $r$ del polinomio resultante aporta una solución exponencial, las raíces dobles añaden un factor $x$ y las complejas producen senos y cosenos.

El segundo es la separación de variables, cuando la ecuación permite agrupar cada variable a un lado: $y'=y$ se reescribe $\tfrac{y'}{y}=1$, se integra a $\ln y = x + C$ y se despeja $y = C\,e^{x}$. Es la vía natural para las de primer orden con estructura de producto.

El tercero es la reducción de orden por estructura: reconocer que el lado izquierdo es la derivada de un producto o de un cociente. Así, $y'\,y' + y''\,y = 0$ es exactamente $(y\,y')' = 0$, y $\tfrac{y''y - (y')^2}{y^2} = \cos x$ es $\left(\tfrac{y'}{y}\right)' = \cos x$: integrando una vez baja el orden y la ecuación reducida se resuelve con los métodos anteriores.

La calculadora de ecuaciones diferenciales de MathOperator clasifica la ecuación, aplica el método adecuado —mostrando la característica desarrollada, la separación o la reducción— y ofrece vías alternativas cuando existen. Las soluciones, incluidas las no lineales con funciones especiales, se representan gráficamente para varios valores de las constantes.