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Cómo resolver ecuaciones diferenciales con la transformada de Laplace

2026-06-30

La transformada de Laplace ofrece un método sistemático para resolver ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales. La clave es su efecto sobre las derivadas: $$\mathcal{L}\{y'\} = sY(s) - y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''\} = s^2 Y(s) - s\,y(0) - y'(0).$$ Cada derivada se convierte en un factor de $s$ que arrastra consigo los valores iniciales, de modo que la ecuación diferencial se transforma en una ecuación algebraica.

El procedimiento tiene tres pasos: transformar la ecuación completa, despejar $Y(s)$ y antitransformar. Con $y'' + y = 0$, $y(0)=1$, $y'(0)=0$: al transformar queda $(s^2+1)\,Y(s) = s$; despejando, $Y(s) = \tfrac{s}{s^2+1}$; y antitransformando, $y(x) = \cos x$ — directamente la solución concreta, no la familia general.

Frente a la transformada de Fourier —que no incorpora condiciones iniciales y por ello solo resuelve la respuesta a un impulso—, Laplace las integra en el propio método. Es la razón de su papel central en teoría de control y análisis de circuitos.

En la calculadora de ecuaciones diferenciales de MathOperator, el método de Laplace aparece como vía alternativa junto a la ecuación característica: el mismo resultado obtenido por dos caminos distintos. Puede probarse con y'' + y = 0, y(0)=1, y'(0)=0 o con y'' + 3*y' + 2*y = 0, y(0)=0, y'(0)=1.