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La técnica de Feynman: derivar bajo el signo integral

2026-06-26

Algunas integrales definidas carecen de primitiva elemental y, sin embargo, tienen un valor exacto alcanzable con una técnica clásica: derivar respecto de un parámetro (la regla de Leibniz, popularizada como «técnica de Feynman»).

El ejemplo canónico es $$I(t)=\int_0^\infty \frac{e^{-tx}\sin x}{x}\,dx.$$ Considerada como función del parámetro $t$, su derivada bajo el signo integral cancela la $x$ del denominador y deja una integral elemental: $$I'(t) = -\frac{1}{t^2+1}.$$ Integrando de vuelta y fijando la constante con la condición de contorno $I(t)\to 0$ cuando $t\to\infty$, se obtiene $$I(t) = \frac{\pi}{2} - \arctan(t).$$

Como caso particular, en $t=0$ aparece la integral de Dirichlet: $$\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx = \frac{\pi}{2}.$$ La técnica admite variantes según cómo se cierre el problema: integrar la derivada directamente, detectar que la integral se reproduce a sí misma (una ecuación diferencial separable, como en la gaussiana), o derivar una segunda vez y fijar las dos constantes con las condiciones $I(0)$ e $I'(0)$.

La calculadora de integrales de MathOperator explora estas vías automáticamente y muestra cada una con su desarrollo, verificando el resultado numéricamente. Pueden probarse e^(-t*x)*sin(x)/x from 0 to oo o la gaussiana paramétrica cos(t*x)*e^(-x^2) from -oo to oo.