← Blog

Integrales impropias por el teorema de los residuos, paso a paso

2026-06-27

El teorema de los residuos convierte integrales reales difíciles en un cálculo casi inmediato. Para una integral en toda la recta se cierra el contorno con un semicírculo en el semiplano superior: si la contribución del arco se anula al crecer el radio, entonces $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 2\pi i \sum \operatorname{Res}(f, z_k),$$ sumando únicamente los polos con parte imaginaria positiva.

La anulación del arco se garantiza de dos maneras: para funciones racionales, cuando el grado del denominador supera en al menos 2 al del numerador; y para integrandos con $\sin(ax)$ o $\cos(ax)$, por el lema de Jordan, pasando antes a la exponencial compleja $e^{iax}$ y tomando al final la parte real o imaginaria.

Los ejemplos clásicos ilustran el método: $\int_{-\infty}^{\infty}\tfrac{dx}{1+x^2} = \pi$ (un polo simple en $z=i$), $\int_{-\infty}^{\infty}\tfrac{x^2}{x^4+1}\,dx = \tfrac{\pi}{\sqrt2}$ (dos polos en el semiplano superior) y $\int_{-\infty}^{\infty}\tfrac{\cos x}{1+x^2}\,dx = \tfrac{\pi}{e}$ (con el paso previo a $e^{ix}$).

La calculadora de integrales por residuos de MathOperator desarrolla el método completo —contorno, lema de Jordan, localización de polos y cálculo de cada residuo— y dibuja el contorno con los polos en el plano complejo. El mismo motor de residuos interviene en la resolución de EDOs por transformada de Fourier y en la suma de series.