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Sumatorios a partir de la serie geométrica: derivar término a término

2026-06-25

La serie geométrica es el punto de partida de toda una familia de sumatorios. Su suma parcial se obtiene por el método telescópico —restar $S_N - r\,S_N$ colapsa casi todos los términos— y el límite $N\to\infty$ da la fórmula $\sum r^n = \tfrac{1}{1-r}$, válida bajo la condición de convergencia $|r| < 1$.

Las series aritmético-geométricas $\sum n^k r^n$ se deducen de ella derivando término a término: cada aplicación del operador $r\tfrac{d}{dr}$ multiplica el término general por $n$, de modo que $k$ aplicaciones sobre la geométrica producen la suma buscada. El procedimiento funciona igual con razón simbólica que numérica, sustituyendo el valor al final.

La calculadora de sumatorios de MathOperator desarrolla ambos pasos —la suma parcial telescópica y cada derivación con su regla— y define de forma discreta las funciones especiales cuando aparecen (Fresnel, $\Gamma$, $\operatorname{erf}$). Pueden probarse r^n, (1/2)^n * n^3 o la suma de Basilea 1/n^2.