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Clausura, interior y frontera en espacios topológicos finitos

2026-07-11

La topología es el lenguaje de la continuidad sin distancias: un conjunto $X$ y una familia $\tau$ de «abiertos» que contiene a $\varnothing$ y a $X$ y es cerrada por uniones e intersecciones. Con esa estructura mínima se definen todos los conceptos del análisis. Los espacios finitos son el terreno ideal para aprenderlos, porque en ellos cada operación es exacta y computable por definición.

Dado un subconjunto $A \subseteq X$, las operaciones fundamentales son: el interior $A^{\circ}$ (el mayor abierto contenido en $A$), la clausura $\overline{A}$ (el menor cerrado que lo contiene), la frontera $\partial A = \overline{A}\setminus A^{\circ}$, el exterior (el interior del complementario) y el conjunto derivado $A'$ (los puntos de acumulación). Todas se obtienen por su definición conjuntista, listando los abiertos y cerrados que intervienen.

Sobre el propio espacio cabe preguntarse si $A$ es abierto, cerrado, clopen o denso, y si el espacio cumple los axiomas de separación $T_0$, $T_1$ o $T_2$ (Hausdorff), o si es conexo. Un ejemplo instructivo es el espacio de Sierpiński (una cadena de abiertos), que es $T_0$ y conexo pero no $T_1$; la topología discreta, en el extremo opuesto, es de Hausdorff y en ella todo subconjunto es clopen.

La calculadora de topología de MathOperator opera con espacios finitos introducidos como {{},{1},{1,2},{1,2,3}} ; {2} (topología y subconjunto separados por ;), calcula las cinco operaciones paso a paso y clasifica el espacio. Si la familia introducida no es una topología, construye la que genera cerrando por uniones e intersecciones.