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Cómo se calcula la transformada de Fourier paso a paso

2026-06-27

La transformada de Fourier $$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-2\pi i\,\omega t}\,dt$$ es, a efectos de cálculo, una integral impropia con un parámetro $\omega$. Eso significa que se resuelve con las mismas técnicas de las integrales definidas, sin necesidad de tablas.

La simetría es la primera simplificación: si $f$ es par, la parte con $\sin$ es impar y se anula, dejando $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,\cos(2\pi\omega t)\,dt$. Si $f$ es causal (nula para $t<0$, con un escalón de Heaviside), la integral arranca en $0$ y suele ser elemental: la exponencial causal exp(-t)*Heaviside(t) sale por integración directa.

El caso más instructivo es la gaussiana $e^{-t^2}$: su integral de coseno no tiene primitiva elemental, y el camino pasa por derivar bajo el signo integral. Al derivar respecto de $\omega$ e integrar por partes, la integral se reproduce a sí misma y aparece una ecuación diferencial separable, $$I'(\omega) = -2\pi^2\omega\,I(\omega),$$ cuya solución es $F(\omega) = \sqrt{\pi}\,e^{-\pi^2\omega^2}$; la constante se fija con la integral de Gauss $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2}\,dt = \sqrt{\pi}$. La gaussiana es, salvo constantes, un punto fijo de la transformada.

La calculadora de transformada de Fourier de MathOperator sigue exactamente este camino —simetría, causalidad y derivación bajo el signo cuando hace falta— con el desarrollo completo, e incluye una visualización de la señal enrollándose en el plano complejo. Los pares de uso común están en la tabla de Fourier.