Polinomios

Operaciones con polinomios

Para sumar y restar polinomios se quitan los paréntesis —un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de todos sus términos— y se agrupan los términos semejantes, sumando sus coeficientes. Para multiplicar se aplica la propiedad distributiva: cada término del primer factor se multiplica por cada término del segundo. El producto de dos monomios multiplica los coeficientes y suma los exponentes de cada variable: $2x\cdot 3x^{2}=6x^{3}$.

Identidades notables

Algunos productos aparecen con tanta frecuencia que conviene reconocerlos: el cuadrado de una suma $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$, el cuadrado de una diferencia $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$, la suma por diferencia $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ y el cubo de un binomio $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$. La calculadora las aplica cuando corresponde y, en los demás casos, desarrolla el producto término a término.

División: regla de Ruffini y división larga

Para dividir entre un binomio de la forma $x-a$ se emplea la regla de Ruffini: se escriben los coeficientes del dividendo, con ceros en los grados que faltan, y se opera con $a$; la última fila contiene los coeficientes del cociente y el resto. Con cualquier otro divisor se aplica la división larga: se divide el término de mayor grado del dividendo entre el del divisor, se multiplica el resultado por el divisor y se resta, hasta que el resto tiene menor grado que el divisor. En ambos casos se comprueba que $D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x)$.

Factorización

Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de polinomios de menor grado. El procedimiento habitual consiste en sacar factor común, reconocer una diferencia de cuadrados o un trinomio cuadrado perfecto, buscar raíces racionales con la regla de Ruffini —las candidatas son los divisores del término independiente entre los divisores del coeficiente principal— y resolver el factor de segundo grado con la fórmula, ya que $ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$. Si el discriminante es negativo, ese factor no se descompone en factores reales. La gráfica señala las raíces reales como puntos de corte con el eje $X$.

Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica se simplifica factorizando el numerador y el denominador y cancelando los factores comunes: $\tfrac{x^{2}-1}{x^{2}+2x+1}=\tfrac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^{2}}=\tfrac{x-1}{x+1}$. Para sumarlas se procede como con las fracciones numéricas, tomando como denominador común el mínimo común múltiplo de los denominadores factorizados.

Ejemplos que puedes probar

Escribe (x + 2)^2 - (x - 1)(x + 3) para operar con identidades notables, 2x(x^2 - 3) para la propiedad distributiva, (x^3 - 2x + 1) : (x - 1) para la regla de Ruffini, divide x^4 - 3x^2 + 2 entre x^2 + 1 para la división larga, factoriza x^3 - 6x^2 + 11x - 6 para factorizar, (x^2 - 1)/(x^2 + 2x + 1) para simplificar una fracción algebraica o 1/x + 1/(x + 1) para sumar fracciones algebraicas. El producto puede escribirse sin signo: 2x, 3x^2y o (x + 1)(x - 1).

Preguntas frecuentes

¿Cuándo se factoriza y cuándo se desarrolla? Si la entrada contiene operaciones, se efectúan; si es un polinomio ya reducido, se factoriza. Las órdenes factoriza y desarrolla al principio de la entrada fijan la tarea. ¿Por qué las candidatas de Ruffini son los divisores del término independiente? Porque si $\tfrac{p}{q}$ es una raíz racional irreducible de un polinomio con coeficientes enteros, $p$ divide al término independiente y $q$ al coeficiente principal. ¿Qué significa que el resto sea cero? Que la división es exacta: el divisor es un factor del dividendo y, en la regla de Ruffini, que $a$ es una raíz del polinomio.

Ejemplos

Operar y desarrollar

• (x + 2)^2 - (x - 1)(x + 3)
• 2x(x^2 - 3)
• 3x^2 - 2x + 5x^2 + 4x - 1
• 2x · 3x^2 - x^3

Identidades notables

• (x + 3)^2
• (2x - 1)^2
• (x + 5)(x - 5)
• (x + 2)^3

División (Ruffini y división larga)

• (x^3 - 2x + 1) : (x - 1)
• divide x^3 + 2x^2 - 5 entre x + 3
• (x^4 - 3x^2 + 2) : (x^2 + 1)
• (6x^3 - 4x^2) : 2x

Factorización

• x^3 - 6x^2 + 11x - 6
• factoriza 2x^3 - 8x
• x^2 + 6x + 9
• x^4 - 5x^2 + 4

Fracciones algebraicas

• (x^2 - 1)/(x^2 + 2x + 1)
• 1/x + 1/(x + 1)
• (x^2 - 4)/(x^2 - 2x)
• x/(x + 1) · (x^2 - 1)/x^2