← Blog

Recurrencias multiplicativas: el cambio logarítmico que las vuelve lineales

2026-07-20

Una recurrencia lineal de coeficientes constantes —$a(n+2)=a(n+1)+a(n)$, la de Fibonacci, es el ejemplo canónico— se resuelve con la ecuación característica: se prueba $a(n)=r^{n}$, se obtiene un polinomio en $r$ y sus raíces dan la solución general. El método falla en cuanto la recurrencia deja de ser una suma de términos con coeficientes constantes: si aparecen productos o potencias de $a(n)$, como en $$a(n+2) = a(n+1)\cdot a(n),$$ sustituir $a(n)=r^{n}$ ya no lleva a ningún polinomio.

La salida es un cambio de variable, no un método nuevo: si los términos son positivos, tomar logaritmos convierte cada producto en una suma y cada potencia en un coeficiente. Con $b(n) = \ln a(n)$, la ecuación $a(n+2)=a(n+1)\cdot a(n)$ —tomando $\ln$ a ambos lados— se queda en $$b(n+2) = b(n+1) + b(n),$$ que es la recurrencia de Fibonacci en $b$. En general, cualquier recurrencia de la forma $\prod_j a(n+j)^{e_j} = \prod_j a(n+j)^{f_j}$ (constantes positivas incluidas) se convierte, tomando logaritmos, en la lineal $\sum_j (e_j-f_j)\,b(n+j) = \text{const}$.

Con $b(n)=C_1\varphi^{n}+C_2\psi^{n}$ (las raíces de $r^2=r+1$ son la razón áurea $\varphi=\tfrac{1+\sqrt5}{2}$ y su conjugada $\psi=\tfrac{1-\sqrt5}{2}$) y deshaciendo el cambio con $a(n)=e^{b(n)}$, queda $$a(n) = K_1^{\varphi^{n}}\cdot K_2^{\psi^{n}},\qquad K_1=e^{C_1},\ K_2=e^{C_2}.$$ Es el análogo multiplicativo de Fibonacci: la razón áurea, que en la sucesión clásica aparece como base de un crecimiento exponencial, aquí aparece como exponente.

El mismo cambio explica también sucesiones que convergen en lugar de crecer. En $a(n+2)^{3}=a(n+1)^{2}\cdot a(n)$, tomar logaritmos deja $3b(n+2)-2b(n+1)-b(n)=0$, de característica $3r^2-2r-1=(3r+1)(r-1)=0$: raíces $r=1$ y $r=-\tfrac13$. Con $a(0)=8$, $a(1)=2$ se obtiene $b(n) = \ln(2\sqrt2) + \left(\ln 2\right)\left(-\tfrac13\right)^{n}$, y como el término en $(-\tfrac13)^n$ se apaga, $a(n) \to e^{\ln(2\sqrt2)} = 2\sqrt2 \approx 2.828$: la raíz $r=1$ (que en una recurrencia lineal daría un término CONSTANTE) aquí da un límite para la sucesión multiplicativa.

El cambio exige que los términos sean positivos —el logaritmo de un número negativo no es real—, y solo se detecta cuando la ecuación tiene la forma de producto de potencias descrita arriba; el resultado se verifica siempre iterando la recurrencia original y comparando numéricamente. La calculadora de recurrencias de MathOperator detecta este patrón y muestra el desarrollo completo —el cambio, la lineal resultante (ecuación característica y función generatriz) y el deshacer del cambio—. Pueden probarse a(n+2) = a(n+1)*a(n), a(0)=2, a(1)=3, a(n+2)^3 = a(n+1)^2*a(n), a(0)=8, a(1)=2 o a(n+2)*a(n) = 1/a(n+1).