Ecuaciones en recurrencias

Resuelve recurrencias lineales (el equivalente discreto de las ecuaciones diferenciales) y obtiene el término general de la sucesión.

¿Qué es una recurrencia?

Una relación de recurrencia define cada término de una sucesión a partir de los anteriores. Resolverla significa encontrar una fórmula cerrada para el término general $a(n)$ que no dependa de los términos previos.

¿Cómo se resuelve?

Por dos vías. La ecuación característica (sustituyendo $a(n)$ por $r^n$ ): cada raíz $r$ aporta un término $C\,r^n$ , y las dobles añaden un factor $n$ . Y la función generatriz $A(z)=\sum a_n z^n$ , el análogo discreto de la transformada de Fourier: convierte cada desplazamiento $a_{n+j}$ en un factor en $z$ , la recurrencia se vuelve algebraica y $A(z)$ sale racional; sus coeficientes son los $a_n$ .

Valores iniciales

Añade los valores iniciales tras la recurrencia: a(n+2)=a(n+1)+a(n), a(0)=0, a(1)=1 da la fórmula de Binet de Fibonacci (con $a(0)=1$ obtendrías otra sucesión). Sin ellos, la solución lleva constantes libres.

Ejemplos que puedes probar

Escribe a(n+2) = a(n+1) + a(n), Fibonacci, o a(n+1) - 2*a(n) = 0, que crece como $2^n$ . La gráfica dibuja los términos de la sucesión.

Para qué sirve

Las recurrencias aparecen al analizar algoritmos (su coste), en combinatoria, en modelos financieros discretos y en cualquier proceso que avanza por pasos.