Serie de Fourier

Desarrolla una función periódica en serie de Fourier: obtén los coeficientes a₀, aₙ y bₙ (la sucesión) y mira cómo la suma de senos y cosenos reconstruye la onda.

¿Qué es una serie de Fourier?

Toda función periódica «razonable» se puede escribir como una suma de senos y cosenos: f(x)=a0+∑n=1∞(ancos⁡nωx+bnsin⁡nωx),f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos n\omega x + b_n\sin n\omega x\bigr), con ω=2π/P\omega = 2\pi/P la frecuencia fundamental. Los coeficientes an,bna_n, b_n miden cuánto pesa cada armónico: son el «espectro» de la señal.

¿Cómo se calcula?

MathOperator obtiene cada coeficiente por su fórmula integral —an=2P∫f(x)cos⁡(nωx) dxa_n = \tfrac{2}{P}\int f(x)\cos(n\omega x)\,dx, y análogamente bnb_n— y la simplifica usando que sin⁡(nπ)=0\sin(n\pi)=0 y cos⁡(nπ)=(−1)n\cos(n\pi)=(-1)^n para dejarlos como una sucesión cerrada. Detecta además la simetría: si ff es par no hay senos (bn=0b_n=0); si es impar no hay cosenos.

Ejemplos que puedes probar

Prueba x^2 (parábola, an=4(−1)n/n2a_n = 4(-1)^n/n^2), x (diente de sierra), Abs(x) (onda triangular) o sign(x) (onda cuadrada). Con from a to b fijas el intervalo del periodo.

Para qué sirve

La serie de Fourier es la base del análisis de señales, la compresión de audio e imagen (JPEG, MP3), la resolución de ecuaciones en derivadas parciales (calor, ondas) y el estudio de cualquier fenómeno periódico en física e ingeniería.

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