Límite

Calculadora de límites de funciones y sucesiones: indeterminaciones (0/0, ∞/∞, 1^∞), equivalencias/infinitésimos, L’Hôpital, series de Taylor y la fórmula de Stirling.

¿Qué es un límite?

El límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a un valor $a$ describe a qué se acerca la función cerca de ese punto, aunque no esté definida exactamente en él. Si el límite por la izquierda y por la derecha no coinciden, el límite no existe. El de una sucesión $a_n$ es el caso discreto: a qué se acerca según $n$ crece sin tope.

Cómo resolver un límite paso a paso

El procedimiento estándar: primero la sustitución directa; si el resultado es una indeterminación ( $\tfrac{0}{0}$ , $\tfrac{\infty}{\infty}$ , $0\cdot\infty$ , $\infty-\infty$ ), se levanta con equivalencias/infinitésimos (sustituir cada factor de un producto por uno más simple: $\sin u\sim u$ …), factorizando y simplificando, con el desarrollo en serie de Taylor o con la regla de L’Hôpital (derivar numerador y denominador), reaplicada mientras persista la indeterminación. Las formas de potencia $1^{\infty}$ , $0^0$ e $\infty^0$ se resuelven tomando logaritmos: $\ln L = \lim h\ln g$ , que vuelve a ser un cociente.

Sucesiones: por qué no basta con L’Hôpital

L’Hôpital y Taylor usan derivadas, y una sucesión $a_n$ no se puede derivar respecto a $n$ (es discreta). El truco es la extensión continua: se considera $f(x)$ —la misma fórmula, con $x$ real— y, si $\lim_{x\to\infty} f(x)$ existe, el de la sucesión es el mismo (es una restricción suya a los naturales). Esta calculadora muestra ese argumento explícitamente antes de aplicar L’Hôpital sobre una sucesión; las equivalencias, en cambio, no necesitan justificación —no usan derivadas— y valen igual en ambos casos.

Ejemplos que puedes probar

Escribe sin(x)/x at 0 (vale $1$ , por equivalencias), (1-cos(x))/x^2 at 0 (vale $\tfrac{1}{2}$ , vía serie de Taylor), (1+1/x)^x at oo (el límite que define el número $e$ ), x^x at 0+ (forma $0^0$ ), tanh(x)/abs(x) at 0 (los laterales difieren y no existe) o, ya con sucesiones, (1+1/n)^n at oo y n!/n^n at oo (con la fórmula de Stirling).

Preguntas frecuentes

¿Cuándo puede aplicarse L’Hôpital? Solo sobre las formas $\tfrac{0}{0}$ o $\tfrac{\infty}{\infty}$ ; las demás indeterminaciones deben transformarse antes. ¿Puede aplicarse varias veces? Sí, mientras la indeterminación persista — y debe pararse en cuanto el cociente converge. ¿Cómo pido el límite de una sucesión? Usa n como variable (p. ej. n!/n^n at oo): solo tiene sentido cuando $n\to\infty$ . ¿Qué pasa con los límites laterales? Se calculan por separado con at 0+ y at 0-; si difieren, el límite no existe.

Para qué sirve

Los límites son la base del cálculo: definen la continuidad, la derivada y la integral, y permiten estudiar el comportamiento de una función (o una sucesión) en el infinito o cerca de sus asíntotas.