Integral por residuos

Calcula integrales impropias ∫−∞∞f(x) dx\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx por el teorema de los residuos, cerrando el contorno con un semicírculo.

¿Qué es el teorema de los residuos?

Es uno de los resultados más bellos del análisis complejo: la integral de una función a lo largo de una curva cerrada CC vale ∮Cf(z) dz=2πi∑Res⁡(f,zk),\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i \sum \operatorname{Res}(f, z_k), la suma de los residuos en los polos zkz_k encerrados por CC. El residuo en un polo simple z0z_0 es lim⁡z→z0(z−z0)f(z)\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z).

¿Cómo se calcula una integral real con esto?

Para ∫−∞∞f(x) dx\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx se cierra el contorno con un semicírculo en el semiplano superior. Si el arco se anula cuando su radio crece (porque el denominador domina, o por el lema de Jordan en el caso con sin⁡\sin/cos⁡\cos), la integral real es igual a 2πi2\pi i por la suma de los residuos de arriba (los de parte imaginaria positiva). Con cos⁡(ax)\cos(ax) o sin⁡(ax)\sin(ax) se pasa antes a eiaxe^{iax} y se toma la parte real o imaginaria.

Ejemplos que puedes probar

Escribe 1/(1+x^2) (vale π\pi), x^2/(x^4+1) (vale π2\tfrac{\pi}{\sqrt2}) o cos(x)/(1+x^2) (vale πe\tfrac{\pi}{e}). La gráfica muestra el contorno y los polos en el plano complejo.

Para qué sirve

El teorema de los residuos resuelve integrales que por métodos reales son durísimas o imposibles, y es la herramienta clave en transformadas (Fourier, Laplace), en el cálculo de sumas infinitas y en física teórica.

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