Ecuaciones diferenciales

Calculadora de ecuaciones diferenciales: resuelve EDOs paso a paso (separables, lineales, Bernoulli, Riccati, Cauchy-Euler), con condiciones iniciales y vías alternativas por Laplace.

¿Qué es una ecuación diferencial?

Una ecuación diferencial relaciona una función desconocida $y(x)$ con sus derivadas. Su solución no es un número, sino una función (o una familia de funciones que dependen de constantes de integración).

Cómo resolver una ecuación diferencial paso a paso

El primer paso es clasificar la ecuación, porque el método depende del tipo. Separable: agrupar cada variable a un lado e integrar. Lineal de primer orden: el factor integrante $\mu = e^{\int P\,dx}$ . Lineal de coeficientes constantes: la ecuación característica y sus raíces (reales, dobles o complejas). Bernoulli ( $y' + Py = Qy^n$ ): el cambio $v = y^{1-n}$ la vuelve lineal. Riccati: una solución particular y el cambio $y = y_1 + 1/z$ . Cauchy-Euler ( $x^ky^{(k)}$ ): el ansatz $y = x^m$ y la ecuación indicial. Esta calculadora de ecuaciones diferenciales detecta el tipo y desarrolla el método completo, con la transformada de Laplace como vía alternativa cuando aplica.

Condiciones iniciales

Puedes fijar condiciones iniciales tras la ecuación, separadas por comas (una por cada orden): y'' + y = 0, y(0)=1, y'(0)=0 da la solución concreta $y=\cos x$ en vez de la familia general. La gráfica dibuja entonces esa única curva.

Método espectral (transformada de Fourier)

Para las lineales de coeficientes constantes con un impulso, ofrecemos además la transformada de Fourier como vía alternativa: cada derivada $y^{(k)}$ pasa a un factor $(2\pi i\omega)^k$ , la ecuación se vuelve algebraica y se antitransforma por residuos. La identidad clave es $\mathcal{F}\{f'\} = 2\pi i\omega\,\mathcal{F}\{f\}$ .

Ejemplos que puedes probar

Escribe las derivadas con apóstrofo: y'' + y = 0 (senos y cosenos), y'' - y = 0 (exponenciales) o la separable y' = x*y. Con impulso, y'' + 3*y' + 2*y = DiracDelta(x) muestra también la vía de Fourier.

Para qué sirve

Las ecuaciones diferenciales modelan casi todo lo que cambia con el tiempo: oscilaciones, circuitos eléctricos, desintegración radiactiva, dinámica de poblaciones y movimiento.