Integral

Calculadora de integrales online: resuelve integrales indefinidas y definidas paso a paso, con el método explicado (partes, sustitución, fracciones simples) y la gráfica del área bajo la curva.

¿Qué es una integral?

Integrar es la operación inversa de derivar. La integral indefinida de una función $f(x)$ es una primitiva $F(x)$ , una función cuya derivada vuelve a ser $f$ (es decir, $F' = f$ ), y se escribe $\int f(x)\,dx = F(x) + C.$ La integral definida $\int_a^b f(x)\,dx$ mide el área con signo encerrada entre la curva y el eje $X$ en el intervalo $[a, b]$ .

Cómo calcular una integral paso a paso

El procedimiento empieza por comprobar si la integral es inmediata (está en la tabla de integrales) o si la linealidad permite separarla en sumandos. Si no, se elige el método según la estructura del integrando: cambio de variable cuando aparece una función junto a su derivada, integración por partes para productos de funciones de distinta naturaleza ( $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ ), fracciones simples para funciones racionales, y sustitución trigonométrica o hiperbólica para radicales como $\sqrt{1-x^2}$ o $\sqrt{x^2-1}$ . Esta calculadora de integrales reconstruye ese camino regla a regla y muestra cada decisión.

Integrales definidas: la regla de Barrow

Para una integral definida se calcula la primitiva y se aplica la regla de Barrow: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).$ Si la función no tiene primitiva elemental (como $e^{-x^2}$ ), entran las técnicas avanzadas —residuos, derivación bajo el signo integral (técnica de Feynman), simetrías del intervalo— y, como último recurso, la integración numérica. Los límites se escriben de forma natural: x^2 from 0 to 1.

Ejemplos que puedes probar

Escribe x*sin(3x) para ver una integración por partes, 2*x*cos(x^2) para un cambio de variable, 1/(x^2-1) para fracciones simples, x^2 from 0 to 1 para una definida con la regla de Barrow, o sqrt(1-x^2) para una sustitución trigonométrica cuya gráfica es un semicírculo. Con parámetro: e^(-t*x)*sin(x)/x from 0 to oo se resuelve derivando bajo el signo integral.

Preguntas frecuentes

¿Por qué aparece la constante $C$ ? Porque toda función tiene infinitas primitivas que difieren en una constante: derivar una constante da cero. ¿Cómo se comprueba una integral? Derivando el resultado: debe devolver el integrando (la calculadora incluye esta verificación en los pasos). ¿Toda función tiene primitiva elemental? No: $e^{-x^2}$ , $\tfrac{\sin x}{x}$ o $\tfrac{1}{\ln x}$ no la tienen, aunque sus integrales definidas puedan tener valor exacto.

Para qué sirve

Las integrales aparecen en el cálculo de áreas y volúmenes, en física (trabajo, centro de masas, espacio a partir de la velocidad), en probabilidad (área bajo la función de densidad) y en ingeniería de señales. La tabla de derivadas e integrales recoge las reglas inmediatas que esta calculadora encadena.