Operaciones con fracciones

¿Cómo se suman y se restan fracciones?

Dos fracciones se suman directamente solo cuando tienen el mismo denominador: se suman los numeradores y se conserva el denominador. Si los denominadores son distintos, primero se reducen a un denominador común: se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores (los factores primos comunes y no comunes, con el mayor exponente) y cada fracción se sustituye por una fracción equivalente con ese denominador, multiplicando su numerador y su denominador por el mismo número. Por ejemplo, $\tfrac{2}{3}+\tfrac{4}{5}=\tfrac{10}{15}+\tfrac{12}{15}=\tfrac{22}{15}$.

Producto, división y potencias

Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí: $\tfrac{a}{b}\cdot\tfrac{c}{d}=\tfrac{a\cdot c}{b\cdot d}$. Para dividir se multiplica en cruz, $\tfrac{a}{b}:\tfrac{c}{d}=\tfrac{a\cdot d}{b\cdot c}$, lo que equivale a multiplicar por la fracción inversa. Una potencia eleva el numerador y el denominador al exponente, y un exponente negativo invierte la fracción: $\left(\tfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\tfrac{b}{a}\right)^{n}$.

Jerarquía de las operaciones y simplificación

En una expresión con varias operaciones se resuelven primero los paréntesis, después las potencias, a continuación los productos y las divisiones, de izquierda a derecha, y por último las sumas y las restas. La calculadora sigue ese orden y muestra la expresión completa después de cada operación. Cada resultado se simplifica dividiendo el numerador y el denominador entre su máximo común divisor, hasta obtener la fracción irreducible.

Expresión decimal

Al final se da la expresión decimal de la fracción irreducible, que depende de los factores primos del denominador: si solo contiene los factores 2 y 5, el decimal es exacto ($\tfrac{9}{8}=1{,}125$); si no contiene ninguno de los dos, es periódico puro ($\tfrac{3}{7}=0{,}\overline{428571}$); y si contiene alguno de ellos junto con otros factores, es periódico mixto ($\tfrac{22}{15}=1{,}4\overline{6}$).

Ejemplos que puedes probar

Escribe 2/3 + 4/5 para una suma con mínimo común múltiplo, 5/12 - 7/18 + 1 para denominadores con factores comunes, (1/2 - 1/3) · 3/4 + 1 para la jerarquía de las operaciones, 2/3 : 4/5 para una división, (2/3)^-2 para una potencia de exponente negativo o 84/120 para simplificar una fracción. Para dividir puede usarse : o /, y para multiplicar, · o *.

Preguntas frecuentes

¿Por qué el mínimo común múltiplo y no el producto de los denominadores? El producto también es un denominador común, pero el mínimo común múltiplo es el menor posible y mantiene los números pequeños. ¿Cuándo se simplifica? Conviene simplificar cada resultado intermedio; la calculadora lo hace en cuanto el numerador y el denominador tienen un divisor común. ¿Cómo se trata un número entero en una suma de fracciones? Como una fracción de denominador 1, que se transforma en otra equivalente con el denominador común.

Ejemplos

Suma y resta (mínimo común múltiplo)

• 2/3 + 4/5
• 5/12 - 7/18 + 1
• 1/2 + 1/3 + 1/4
• 3 - 5/6

Producto y división

• -2/3 · 9/4
• 2/3 : 4/5
• 3/4 · 8/9 : 2/3
• 5 : 10/3

Potencias

• (2/3)^2
• (2/3)^-2
• (-1/2)^3 + 2
• 2^-3 + 1/2

Jerarquía de las operaciones

• (1/2 - 1/3) · 3/4 + 1
• 2 - 3/4 : (1/2 + 1/4)
• 1/2 + 1/2 · (2/3 - 1/6)
• (3/5 + 1/2) : (2 - 1/4)

Simplificar y expresión decimal

• 84/120
• 22/15
• 3/7
• 45/60