Operaciones con radicales

¿Cómo se simplifica un radical?

Para simplificar $\sqrt[n]{a}$ se descompone el radicando en factores primos y se divide cada exponente entre el índice: el cociente es la potencia del factor que sale de la raíz y el resto, la que permanece dentro. Así, $\sqrt{72}=\sqrt{2^{3}\cdot 3^{2}}=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$. Si el índice y todos los exponentes tienen un divisor común, también puede simplificarse el índice: $\sqrt[4]{9}=\sqrt[4]{3^{2}}=\sqrt{3}$.

Suma de radicales semejantes

Solo pueden sumarse los radicales semejantes, es decir, los que tienen el mismo índice y el mismo radicando: se suman sus coeficientes y se conserva el radical. Con frecuencia hay que extraer factores antes para que aparezcan: $\sqrt{8}+\sqrt{18}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$. Los radicales que no son semejantes, como $\sqrt{2}$ y $\sqrt{3}$, se dejan indicados.

Producto, cociente y potencias

Con el mismo índice, el producto de radicales es el radical del producto, $\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}$, y lo mismo ocurre con el cociente. Con índices distintos se reducen antes a un índice común, el mínimo común múltiplo de los índices: $\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{2^{3}}\cdot\sqrt[6]{2^{2}}=\sqrt[6]{32}$. Para elevar un radical a una potencia se eleva el radicando: $\left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}$.

Racionalización

Racionalizar es transformar una fracción para que su denominador no contenga raíces. Si el denominador es un radical $\sqrt[n]{a^{k}}$, se multiplican el numerador y el denominador por $\sqrt[n]{a^{n-k}}$, de modo que el radicando del denominador sea una potencia de exponente $n$: $\tfrac{3}{\sqrt{2}}=\tfrac{3\sqrt{2}}{2}$. Si el denominador es un binomio con raíces cuadradas, se multiplica por su conjugado, porque $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ elimina las raíces: $\tfrac{1}{\sqrt{3}-1}=\tfrac{\sqrt{3}+1}{2}$.

Ejemplos que puedes probar

Escribe sqrt(72) para extraer factores, sqrt(8) + sqrt(18) - sqrt(50) para sumar radicales semejantes, 2sqrt(3) · 5sqrt(6) para un producto, sqrt(2) · cbrt(2) para índices distintos, 3/sqrt(2) o 1/(sqrt(3) - 1) para racionalizar y (sqrt(2) + 1)^2 para una identidad notable. También se admiten √8, root(54, 3) para la raíz cúbica y 2^(1/3).

Preguntas frecuentes

¿Por qué no se pueden sumar $\sqrt{2}$ y $\sqrt{3}$? Porque no son semejantes: no existe ninguna regla que convierta su suma en un único radical, y $\sqrt{2}+\sqrt{3}\neq\sqrt{5}$. ¿Para qué sirve racionalizar? Para operar con más comodidad y para que los resultados tengan una forma única y comparable. ¿Qué ocurre con la raíz cuadrada de un número negativo? No es un número real, por lo que la calculadora la rechaza; las raíces de índice impar de números negativos sí están definidas.

Ejemplos

Extraer factores y simplificar el índice

• sqrt(72)
• root(54, 3)
• sqrt(1/2)
• root(9, 4)

Suma de radicales semejantes

• sqrt(8) + sqrt(18) - sqrt(50)
• 3sqrt(12) - 2sqrt(27) + sqrt(3)
• sqrt(20) + sqrt(45)
• 2sqrt(75) - sqrt(48)

Producto, cociente y potencias

• sqrt(2) · sqrt(8)
• 2sqrt(3) · 5sqrt(6)
• sqrt(2) · cbrt(2)
• (2sqrt(3))^2

Racionalización

• 3/sqrt(2)
• 6/(2sqrt(3))
• 1/(sqrt(3) - 1)
• 2/(1 + sqrt(2))

Identidades notables con radicales

• (sqrt(2) + 1)^2
• (sqrt(3) - 2)^2
• (sqrt(3) + 1)(sqrt(3) - 1)
• (sqrt(2) + 1) · sqrt(2)