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Ecuaciones diferenciales de variables separables: separar, integrar y despejar

2026-10-16

Una ecuación diferencial de primer orden es de variables separables cuando puede escribirse en la forma $$y'=g(x)\,h(y),$$ es decir, cuando la derivada es el producto de una función de $x$ por una función de $y$. Es el tipo más sencillo de resolver y el punto de partida de otros: las ecuaciones homogéneas, por ejemplo, se reducen a una separable con el cambio $v=y/x$. Este artículo expone el método, lo justifica, explica qué ocurre con la constante de integración y señala las soluciones que el procedimiento puede perder.

El método. Donde $h(y)\neq0$, se divide por $h(y)$ y se escribe la ecuación con diferenciales, de modo que cada lado dependa de una sola variable: $$\frac{dy}{h(y)}=g(x)\,dx.$$ Después se integra cada lado por separado: $$\int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx+C.$$ La relación que se obtiene, $H(y)=G(x)+C$, es la solución general en forma implícita; si $H$ se puede invertir, se despeja $y$. Por ejemplo, en $y'=x\,y$ se tiene $\tfrac{dy}{y}=x\,dx$ y, al integrar, $\ln|y|=\tfrac{x^{2}}{2}+C$.

Por qué funciona. Separar $dy$ y $dx$ como si fueran números es una notación cómoda; la justificación está en la regla de la cadena. Si $H$ es una primitiva de $1/h$ y $y(x)$ es una solución, entonces $$\frac{d}{dx}H\big(y(x)\big)=H'\big(y(x)\big)\,y'(x)=\frac{y'(x)}{h\big(y(x)\big)}=g(x).$$ Así, $H(y(x))$ y $G(x)$ tienen la misma derivada y difieren en una constante: $H(y)=G(x)+C$. El razonamiento solo exige que $h$ no se anule a lo largo de la solución.

La constante al despejar. Al despejar $y$, la constante cambia de forma, y conviene renombrarla. En el ejemplo, $|y|=e^{C}e^{x^{2}/2}$; como $e^{C}$ toma cualquier valor positivo y el valor absoluto añade el signo, $y=K\,e^{x^{2}/2}$ con $K\neq0$ arbitraria, que se vuelve a llamar $C$: $$y=C\,e^{x^{2}/2}.$$ Escribir la solución como $e^{C+x^{2}/2}$ no es incorrecto, pero oculta que la familia es la de los múltiplos de $e^{x^{2}/2}$ y deja fuera las soluciones negativas y la nula.

Las soluciones que se pierden al dividir. Al dividir por $h(y)$ se descartan los valores $y_0$ con $h(y_0)=0$, y cada uno de ellos da una solución constante, $y\equiv y_0$, porque entonces $y'=0=g(x)\,h(y_0)$. A veces esa solución está dentro de la familia general: en $y'=x\,y$, la solución $y=0$ corresponde a $C=0$. Otras veces no lo está: en $y'=y^{2}$, la separación da $-\tfrac{1}{y}=x+C$, es decir, $y=\tfrac{1}{C-x}$, y la solución $y\equiv0$ no se obtiene para ningún valor de $C$. Por eso, al terminar, hay que revisar los ceros de $h$.

Soluciones implícitas. No siempre se puede despejar $y$ con funciones elementales. En $y'=\tfrac{x}{y+\cos y}$, la separación da $$\frac{y^{2}}{2}+\operatorname{sen}y=\frac{x^{2}}{2}+C,$$ una relación entre $x$ e $y$ que define la solución sin expresarla como $y=f(x)$. Es una solución igualmente válida, y en ese caso se deja en forma implícita.

El problema de valor inicial. Una condición $y(x_0)=y_0$ fija la constante. En $y'=x\,y$ con $y(0)=2$, se obtiene $2=C\,e^{0}$, luego $C=2$ e $y=2\,e^{x^{2}/2}$. Si $g$ es continua y $h$ tiene derivada continua, la solución que pasa por cada punto es única (teorema de Picard). Sin esa hipótesis puede no serlo: $y'=3\,y^{2/3}$ admite, con $y(0)=0$, tanto $y\equiv0$ como $y=x^{3}$, porque $y^{2/3}$ no es derivable en $0$.

Dónde aparecen. Muchos modelos elementales son separables: el crecimiento y el decaimiento exponencial, $y'=k\,y$, con solución $y=C\,e^{kx}$ (poblaciones, desintegración radiactiva, interés compuesto continuo); la ley de enfriamiento de Newton, $T'=-k\,(T-T_a)$; o la ecuación logística, $y'=r\,y\left(1-\tfrac{y}{K}\right)$, que se integra con fracciones simples.

Con la calculadora. La calculadora de ecuaciones diferenciales reconoce las ecuaciones separables, separa las variables, desarrolla cada integral y despeja $y$ cuando es posible, renombrando la constante. Pueden probarse y' = x*y, y' = y*cos(x) o y' = x*(1+y^2).