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Polinomios: identidades notables, división por Ruffini y factorización

2026-10-11

Un polinomio en $x$ es una expresión $P(x)=a_{n}x^{n}+\dots+a_{1}x+a_{0}$; los $a_{i}$ son sus coeficientes y, si $a_{n}\neq0$, $n$ es su grado. La suma, la resta y el producto de polinomios vuelven a dar polinomios, y la división da un cociente y un resto, como la división entera. Este artículo recorre esas operaciones, las identidades notables, la regla de Ruffini y la factorización, que es la herramienta que conecta los polinomios con sus raíces.

Suma, resta y producto. Para sumar o restar se eliminan los paréntesis —un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de todos sus términos— y se agrupan los términos semejantes, los que tienen la misma parte literal, sumando sus coeficientes. El producto se basa en la propiedad distributiva: cada término de un factor se multiplica por cada término del otro, con la regla $x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}$; por eso el grado del producto es la suma de los grados. Por ejemplo, $$(x+2)^{2}-(x-1)(x+3)=\left(x^{2}+4x+4\right)-\left(x^{2}+2x-3\right)=2x+7.$$

Identidades notables. Ciertos productos se presentan con tanta frecuencia que conviene conocer su resultado: $$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2},\qquad (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2},\qquad (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2},$$ y el cubo de un binomio, $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$. La primera tiene una lectura geométrica inmediata: un cuadrado de lado $a+b$ se descompone en un cuadrado de lado $a$, otro de lado $b$ y dos rectángulos de lados $a$ y $b$. Las identidades se usan en los dos sentidos: de izquierda a derecha para desarrollar y de derecha a izquierda para factorizar.

El algoritmo de la división. Dados dos polinomios $D(x)$ y $d(x)$, con $d$ no nulo, existen un único cociente $C(x)$ y un único resto $R(x)$ tales que $$D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x),\qquad \operatorname{grado}R<\operatorname{grado}d.$$ La división larga los obtiene término a término: se divide el término de mayor grado del dividendo entre el del divisor, se multiplica el resultado por el divisor, se resta y se repite con lo que queda. Así, $\left(x^{4}-3x^{2}+2\right):\left(x^{2}+1\right)$ da $C(x)=x^{2}-4$ y $R(x)=6$, y se comprueba que $\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}-4\right)+6=x^{4}-3x^{2}+2$.

La regla de Ruffini y el teorema del resto. Cuando el divisor es $x-a$, la división se abrevia con la regla de Ruffini, que opera solo con los coeficientes: se baja el primero, se multiplica por $a$, se suma al siguiente y se repite; la última fila contiene los coeficientes del cociente y, al final, el resto. Como el resto es un número $r$, al evaluar $D(x)=(x-a)\,C(x)+r$ en $x=a$ se obtiene $r=D(a)$: es el teorema del resto. De él se sigue el teorema del factor: $a$ es una raíz de $D$ si y solo si $x-a$ divide a $D$. Por ejemplo, $x^{3}-2x+1$ entre $x-1$ da resto $0$ y cociente $x^{2}+x-1$, de modo que $x^{3}-2x+1=(x-1)\left(x^{2}+x-1\right)$.

Factorización. Factorizar es descomponer un polinomio en producto de polinomios de menor grado, y el procedimiento habitual tiene cuatro pasos. Primero se saca factor común: $2x^{3}-8x=2x\left(x^{2}-4\right)$. Después se buscan identidades notables, como la diferencia de cuadrados $x^{2}-4=(x+2)(x-2)$ o el trinomio cuadrado perfecto $x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}$. En tercer lugar, para grado tres o mayor, se buscan raíces racionales con Ruffini: por el teorema de la raíz racional, si $\tfrac{p}{q}$ es una raíz irreducible de un polinomio con coeficientes enteros, $p$ divide al término independiente y $q$ al coeficiente principal, lo que deja una lista finita de candidatas. Por último, el factor de segundo grado se resuelve con la fórmula y se escribe $ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$; si su discriminante es negativo, no tiene raíces reales y no se descompone más. Así, $x^{3}-6x^{2}+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)$. La resolución de ecuaciones polinómicas sigue el mismo camino, como se detalla en el artículo sobre ecuaciones.

Fracciones algebraicas. Un cociente de polinomios se simplifica factorizando el numerador y el denominador y cancelando los factores comunes, lo que es válido para los valores que no anulan el denominador: $$\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^{2}}=\frac{x-1}{x+1}.$$ La suma sigue el mismo esquema que con fracciones numéricas, con el mínimo común múltiplo de los denominadores factorizados: $\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{x+1}=\tfrac{(x+1)+x}{x(x+1)}=\tfrac{2x+1}{x(x+1)}$.

Con la calculadora. La calculadora de polinomios desarrolla expresiones como (x + 2)^2 - (x - 1)(x + 3) reconociendo las identidades notables, divide por Ruffini o con la división larga —con la comprobación $D=d\cdot C+R$—, simplifica fracciones algebraicas y factoriza un polinomio ya reducido, o cualquiera precedido de la orden factoriza; la gráfica muestra las raíces reales como cortes con el eje $X$.