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Operaciones con fracciones: mínimo común múltiplo, simplificación y jerarquía

2026-10-11

Una fracción $\tfrac{a}{b}$, con $a$ y $b$ enteros y $b\neq0$, representa el cociente de $a$ entre $b$. Dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo número, y el criterio es sencillo: $\tfrac{a}{b}=\tfrac{c}{d}$ si y solo si $a\cdot d=b\cdot c$. De ahí se deduce la propiedad en que se basan todas las operaciones de este artículo: si se multiplican o se dividen el numerador y el denominador por un mismo número distinto de cero, se obtiene una fracción equivalente. A continuación se tratan la simplificación, la suma y la resta, el producto y el cociente, las potencias, la jerarquía de las operaciones y la expresión decimal.

Simplificación y máximo común divisor. Simplificar una fracción es dividir su numerador y su denominador por un divisor común. Si se divide por el máximo común divisor se llega de una sola vez a la fracción irreducible, la única representante del número con numerador y denominador primos entre sí (y denominador positivo). El máximo común divisor se obtiene de la descomposición en factores primos tomando los factores comunes con el menor exponente: como $84=2^{2}\cdot3\cdot7$ y $120=2^{3}\cdot3\cdot5$, resulta $\text{m.c.d.}(84,120)=2^{2}\cdot3=12$ y $$\frac{84}{120}=\frac{84:12}{120:12}=\frac{7}{10}.$$

Suma y resta: reducción a denominador común. Solo las fracciones con el mismo denominador se suman directamente, sumando los numeradores y conservando el denominador: $\tfrac{a}{m}+\tfrac{b}{m}=\tfrac{a+b}{m}$. Cuando los denominadores son distintos, cada fracción se sustituye por otra equivalente con un denominador común. Cualquier múltiplo común sirve, pero el mínimo común múltiplo es el menor de ellos y mantiene los números pequeños; se forma con los factores primos comunes y no comunes, cada uno con su mayor exponente. Por ejemplo, en $\tfrac{5}{12}-\tfrac{7}{18}+1$ se tiene $12=2^{2}\cdot3$ y $18=2\cdot3^{2}$, de modo que $\text{m.c.m.}(12,18)=2^{2}\cdot3^{2}=36$, y $$\frac{5}{12}-\frac{7}{18}+1=\frac{15}{36}-\frac{14}{36}+\frac{36}{36}=\frac{37}{36}.$$ El entero $1$ se ha tratado como la fracción $\tfrac{1}{1}$ y se ha transformado en la equivalente $\tfrac{36}{36}$. Un error frecuente consiste en sumar numeradores y denominadores por separado: $\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}$ daría $\tfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}$ en lugar de $1$.

Producto y cociente. El producto de fracciones multiplica los numeradores entre sí y los denominadores entre sí: $\tfrac{a}{b}\cdot\tfrac{c}{d}=\tfrac{a\cdot c}{b\cdot d}$; no requiere denominador común. Para dividir se multiplica por la fracción inversa, lo que en la práctica equivale a multiplicar en cruz: $$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}.$$ La justificación es que dividir entre un número es multiplicar por su inverso, y el inverso de $\tfrac{c}{d}$ es $\tfrac{d}{c}$, porque su producto vale $1$. Así, $\tfrac{2}{3}:\tfrac{4}{5}=\tfrac{2\cdot5}{3\cdot4}=\tfrac{10}{12}=\tfrac{5}{6}$. Simplificar los factores comunes antes de multiplicar es equivalente y evita números grandes.

Potencias. Por la regla del producto, una potencia de exponente natural eleva el numerador y el denominador: $\left(\tfrac{a}{b}\right)^{n}=\tfrac{a^{n}}{b^{n}}$. Las definiciones $\left(\tfrac{a}{b}\right)^{0}=1$ y $\left(\tfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\tfrac{b}{a}\right)^{n}$ son las únicas que conservan la regla $x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}$ para exponentes enteros; por eso un exponente negativo invierte la fracción, como en $\left(\tfrac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}=\tfrac{9}{4}$. Con base negativa, el signo del resultado depende de la paridad del exponente: $\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{3}=-\tfrac{1}{8}$, mientras que $\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}$.

Jerarquía de las operaciones. En una expresión con varias operaciones se resuelven, por este orden, los paréntesis, las potencias, los productos y los cocientes —de izquierda a derecha— y, por último, las sumas y las restas. En $\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}\right)\cdot\tfrac{3}{4}+1$ se calcula primero el paréntesis, $\tfrac{1}{6}$; después el producto, $\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{3}{4}=\tfrac{1}{8}$; y por último la suma, $\tfrac{9}{8}$. El orden no es una convención trivial: $2-\tfrac{3}{4}:\left(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}\right)$ vale $2-1=1$, porque la división se efectúa antes que la resta, mientras que $\left(2-\tfrac{3}{4}\right):\tfrac{3}{4}$ vale $\tfrac{5}{3}$.

Expresión decimal. Toda fracción tiene una expresión decimal exacta o periódica, y cuál de las dos depende solo de su denominador una vez simplificada. Si el denominador de la fracción irreducible no tiene más factores primos que $2$ y $5$, la fracción puede escribirse con un denominador potencia de $10$ y el decimal es exacto: $\tfrac{9}{8}=\tfrac{1125}{1000}=1{,}125$. En caso contrario, la división no termina; como los restos posibles son menores que el denominador, alguno se repite y, a partir de ahí, se repiten también las cifras: el decimal es periódico. Es periódico puro cuando el denominador no tiene los factores $2$ ni $5$ ($\tfrac{3}{7}=0{,}\overline{428571}$) y periódico mixto cuando tiene alguno de ellos junto con otros factores ($\tfrac{22}{15}=1{,}4\overline{6}$, con $15=3\cdot5$).

Con la calculadora. La calculadora de fracciones lee la expresión tal como se escribe —por ejemplo, 5/12 - 7/18 + 1 o (1/2 - 1/3) · 3/4 + 1— y la resuelve operación a operación en el orden de la jerarquía: muestra el mínimo común múltiplo con la descomposición factorial de los denominadores, las fracciones equivalentes, la simplificación por el máximo común divisor y, al final, la expresión decimal con su clasificación.