Sistemas de ecuaciones lineales

Calculadora de sistemas de ecuaciones: resuelve sistemas lineales paso a paso por tres métodos (Gauss, regla de Cramer y matriz inversa) y clasifica el sistema por rangos.

¿Qué es un sistema de ecuaciones?

Un sistema lineal busca los valores de las incógnitas que satisfacen varias ecuaciones a la vez. Puede tener solución única (compatible determinado), infinitas soluciones (indeterminado) o ninguna (incompatible), según los rangos de sus matrices — es el teorema de Rouché-Frobenius.

Cómo resolver un sistema de ecuaciones paso a paso

Hay tres métodos clásicos, y los tres llegan al mismo resultado. La eliminación de Gauss-Jordan transforma la matriz ampliada con operaciones por filas hasta la forma escalonada reducida: es el método general, válido para cualquier sistema. La regla de Cramer expresa cada incógnita como cociente de determinantes, $x_i = \tfrac{\det A_i}{\det A}$ . Y el método de la matriz inversa despeja $x = A^{-1}b$ . Los dos últimos requieren que la matriz de coeficientes sea cuadrada y regular ( $\det A \neq 0$ ). Esta calculadora clasifica el sistema por rangos y desarrolla los tres métodos en paralelo, cada operación por filas y cada determinante explicados.

Ejemplos que puedes probar

Escribe x + y = 3 ; x - y = 1 (separa las ecuaciones con ;) para ver los tres métodos, o un sistema indeterminado como x + y = 2 ; 2x + 2y = 4 para la clasificación por rangos. El constructor visual permite arrastrar el tamaño de la matriz de coeficientes.

Preguntas frecuentes

¿Cuándo puede usarse Cramer? Solo con matriz cuadrada y determinante no nulo; si $\det A = 0$ , el sistema es indeterminado o incompatible y hay que ir a Gauss. ¿Qué método conviene? Gauss escala mejor y siempre funciona; Cramer es cómodo en sistemas $2\times2$ y $3\times3$ ; la inversa compensa cuando hay que resolver varios sistemas con la misma matriz. ¿Cómo se detecta un sistema sin solución? Cuando el rango de la matriz ampliada supera al de la de coeficientes.

Para qué sirve

Los sistemas lineales modelan equilibrios en economía, circuitos, mezclas químicas, ajustes de datos y un sinfín de problemas de ingeniería. Son además la pieza interna de otros cálculos: imponer condiciones iniciales en una ecuación diferencial o en una recurrencia es, en el fondo, resolver un sistema.